Half the truth is often a great lie.

人数优势究竟在战争中占据什么样的地位?

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中国近代革命志士秋瑾曾经写下这样的诗句:“拼将十万头颅血,须把乾坤力挽回。”类似的还有陈毅元帅当年的“此去泉台招旧部,旌旗十万斩阎罗”。文科生会说这抒发了豪情,理科生会问:拼将十万头颅,就一定能把乾坤挽回么?——这里的“十万”当然不是一个确数,但提出了一个有趣的问题——人数的优势究竟在战争中占据什么样的地位?

我们抛弃一切历史和时代的背景,来单纯地想象一场阵地战:假定红方与蓝方(这里的红方与蓝方没有特指,也无褒贬)都没有飞机大炮,只使用同样的步兵武器,掩体坚固程度等客观条件也差不多,且均在对方有效射程之内;红方不存在百发百中的神枪手,蓝方也没有没放过枪的新兵蛋子。总之一句话,就是双方半斤对八两。唯一不同的是兵员数量——红方有5,000人,蓝方4,000人,红方比蓝方整多出1,000人。双方开打了,枪林弹雨,如此你来我往地掐将下去,谁也不投降、不逃跑,最终结果会如何呢?由于红方有“微弱”的数量优势,蓝方终将以被全歼而惨败,这是比较合理的结果。我的问题是,此时“惨胜”的红方还能剩下多少人呢?对方既已全军尽没,损失当然是4,000人,红方是不是也一定付出了相同的代价呢?

1914年,英国有个叫做兰切斯特(F. W. Lanchester)的,对类似的问题进行过研究。他本人其实是个汽车工程师,然而使他青史留名的成就却和汽车没什么关系,而是兰切斯特战斗方程。

兰切斯特的理论基于这样一个假设:双方在任一瞬间的战斗损耗与对方此时的兵力成正比。如甲方兵力为x,乙方兵力为y,有如下微分方程①:

dx/dt=-ay,

dy/dt=-bx.

t表示时间;a、b均为比例常数,它们与双方的武器效能及掩体等因素有关。简洁而优美的方程揭示了这样一个规律:交战一方的有效战斗力,正比于其战斗单位数(战斗单位,一般可以理解为参战兵员数)的平方与每一战斗单位平均战斗力(可以理解为单位时间内消灭对方兵员的能力)的乘积,即所谓兰切斯特平方律(还有一个类型就是兰切斯特线性律,它适用于远距离战斗,在此略过不提)。

如甲乙双方初始兵力为x0、y0,战斗持续过程中任意瞬间的兵力由x(t)、y(t)表示(为简化计,假定双方实力相同,即a = b,可将“每一战斗单位平均战斗力”略去),则很容易推导出如下等式②:

x02 – y02 = x(t)2 – y(t)2

也就是说,只要战前有x0 > y0,战局的必然结果就是乙方被全歼,即y最终变为0,甲方剩余人数当然就是x = sqrt(x02-y02)(sqrt为取平方根)。

由此,兰切斯特方程第一次以定量的方式论证了“集中优势兵力打歼灭战”的正确性。兰切斯特采用下述例子说明平方律符合集中优势兵力的作战原则:“如果甲方1,000人与乙方1,000人交战,双方单个战斗单位的平均战斗力相同,但甲方被乙方分割成各500人的两半。假定乙方先以1,000人攻击甲方的500人,则乙方将以损失134人的代价全歼甲方的一半;接着乙方以剩下的866人再全歼甲方的另一半,甲方在这两次战斗中将总共损失293人。”——我们的毛主席就是运用这一战法的大师。

再回到开始的假设:红蓝双方实力不相上下,即a = b;由等式②可以计算出,红方在将蓝方赶尽杀绝之后,还能剩下sqrt(5,0002-4,0002) = 3,000人,而不是1,000人,红方的数量优势导致其损失远低于蓝方。而蓝方要想把红方放倒,就必须采用某种方法分割红方,以图在局部取得数量优势。

当然,实际情况要比简化条件错综复杂得多,不谈硬件如何,仅仅是无形的士气就足以影响甚至决定战局。但是,大量的事实证明,兰切斯特方程具有很强的参考价值;尤其是一些局部战斗的结果,更可能与之契合。假如一个黑帮老大被别人抢了地盘,他恼羞成怒,打算和对手在一个空旷的废弃厂房或者仓库(电影里都这么干)里一决胜负。孙子曰:“夫未战而庙算胜者,得算多也;未战而庙算不胜者,得算少也”,所以 火拼之前,不妨先拿兰切斯特方程算一算。假如对方用枪榴弹你用半自动,武器效能是你的整4倍(此时的比例常数a、b不再相等了);根据兰切斯特平方律,你带过去的小喽罗数量至少得对方的2倍,才可以抵消对方的火力优势——也就是说,十万头颅是否够用,得看双方的所有因素对比,不能只看人数。

文/木舟子 来源:科学公园

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